图 - 最短路径(Dijkstra & Frolyd)

最短路径有着广泛的应用,比如地图两点间距离计算,公交查询系统,路由选择等。@pdai

最短路径介绍

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。最短路径不一定是经过边最少的路径,但在这些最短路径中,长度最短的那一条路径上只有一条边,且它的权值在从源点出发的所有边的权值最小。

从图中某一顶点(称为源点)到达另一顶点(称为终点)的路径可能不止一条,如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小,例: 公交查询系统。

路径长度最短的最短路径的特点:

  • 在这条路径上,必定只含一条弧,并且这条弧的权值最小。
  • 下一条路径长度次短的最短路径的特点:
  • 它只可能有两种情况: 或者是直接从源点到该点(只含一条弧); 或者是从源点经过顶点v1,再到达该顶点(由两条弧组成)。

问题解法:

  • 求从某个源点到其余各点的最短路径 — Dijkstra算法
  • 每一对顶点之间的最短路径 — Floyd算法

最短路径算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述: 在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

2.算法描述

1)算法思想: 设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤:

a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

Floyd算法

参考文章

  • https://www.cnblogs.com/lisen10/p/10876132.html

  • https://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

  • https://www.cnblogs.com/idreamo/p/9472295.html

  • https://segmentfault.com/a/1190000015440278

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