大数据处理 - Bitmap & Bloom Filter

布隆过滤器有着广泛的应用,对于大量数据的“存不存在”的问题在空间上有明显优势,但是在判断存不存在是有一定的错误率(false positive),也就是说,有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(False Positive),但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合(False Negative)。@pdai

布隆过滤器由来

布隆在1970年提出了布隆过滤器(Bloom Filter),是一个很长的二进制向量(可以想象成一个序列)和一系列随机映射函数(hash function)。可用于判断一个元素是否在一个集合中,查询效率很高(1-N,最优能逼近于1)。通常应用在一些需要快速判断某个元素是否属于集合,但是并不严格要求100%正确的场合。

特点

  • 优点: 占用空间小,查询快
  • 缺点: 有误判,删除困难

几个专业术语

这里有必要介绍一下False PositiveFalse Negative的概念:

  • False Positive: 中文可以理解为“假阳性”,在这里表示,有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合
  • False Negative: 中文可以理解为“假阴性”,Bloom Filter是不存在false negatived的, 即不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合(False Negative)。

布隆过滤器应用场景

  • 网页爬虫对URL的去重: 避免爬取相同的URL地址;

  • 反垃圾邮件: 假设邮件服务器通过发送方的邮件域或者IP地址对垃圾邮件进行过滤,那么就需要判断当前的邮件域或者IP地址是否处于黑名单之中。如果邮件服务器的通信邮件数量非常大(也可以认为数据量级上亿),那么也可以使用Bloom Filter算法;

  • 缓存击穿: 将已存在的缓存放到布隆中,当黑客访问不存在的缓存时迅速返回避免缓存及DB挂掉;

  • HTTP缓存服务器: 当本地局域网中的PC发起一条HTTP请求时,缓存服务器会先查看一下这个URL是否已经存在于缓存之中,如果存在的话就没有必要去原始的服务器拉取数据了(为了简单起见,我们假设数据没有发生变化),这样既能节省流量,还能加快访问速度,以提高用户体验。

  • 黑/白名单: 类似反垃圾邮件。

  • Bigtable: Google 著名的分布式数据库 Bigtable 使用了布隆过滤器来查找不存在的行或列,以减少磁盘查找的IO次数。

  • Squid: 网页代理缓存服务器在 cachedigests 中使用了也布隆过滤器。

  • Venti 文档存储系统: 也采用布隆过滤器来检测先前存储的数据。

  • SPIN 模型检测器: 也使用布隆过滤器在大规模验证问题时跟踪可达状态空间。

  • Chrome加速安全浏览: Google Chrome浏览器使用了布隆过滤器加速安全浏览服务。

  • Key-Value系统: 在很多Key-Value系统中也使用了布隆过滤器来加快查询过程,如 Hbase,Accumulo,Leveldb,一般而言,Value 保存在磁盘中,访问磁盘需要花费大量时间,然而使用布隆过滤器可以快速判断某个Key对应的Value是否存在,因此可以避免很多不必要的磁盘IO操作,只是引入布隆过滤器会带来一定的内存消耗。

  • HTTP Proxy-Cache: 在Internet Cache Protocol中的Proxy-Cache很多都是使用Bloom Filter存储URLs,除了高效的查询外,还能很方便得传输交换Cache信息。

  • 网络应用: P2P网络中查找资源操作,可以对每条网络通路保存Bloom Filter,当命中时,则选择该通路访问。广播消息时,可以检测某个IP是否已发包。检测广播消息包的环路,将Bloom Filter保存在包里,每个节点将自己添加入Bloom Filter。信息队列管理,使用Counter Bloom Filter管理信息流量。

布隆过滤器实现

Bloom Filter在很多开源框架都有实现,例如:

  • Elasticsearch: org.elasticsearch.common.util.BloomFilter

  • guava: com.google.common.hash.BloomFilter

  • Hadoop: org.apache.hadoop.util.bloom.BloomFilter(基于BitSet实现)

以BitSet 实现方式为例

创建一个m位BitSet,先将所有位初始化为0,然后选择k个不同的哈希函数。第i个哈希函数对字符串str哈希的结果记为h(i,str),且h(i,str)的范围是0到m-1 。

  • 加入字符串过程

下面是每个字符串处理的过程,首先是将字符串str“记录”到BitSet中的过程: 对于字符串str,分别计算h(1,str),h(2,str)…… h(k,str)。然后将BitSet的第h(1,str)、h(2,str)…… h(k,str)位设为1。

这样就将字符串str映射到BitSet中的k个二进制位了。

  • 检查字符串是否存在的过程

下面是检查字符串str是否被BitSet记录过的过程: 对于字符串str,分别计算h(1,str),h(2,str)…… h(k,str)。然后检查BitSet的第h(1,str)、h(2,str)…… h(k,str)位是否为1,若其中任何一位不为1则可以判定str一定没有被记录过。若全部位都是1,则“认为”字符串str存在。 若一个字符串对应的Bit不全为1,则可以肯定该字符串一定没有被Bloom Filter记录过。(这是显然的,因为字符串被记录过,其对应的二进制位肯定全部被设为1了)

以BitSet 实现代码

package algorithm;
import java.util.BitSet;
public class BloomFilter
{
    /* BitSet初始分配2^24个bit */
    private static final int DEFAULT_SIZE = 1 << 25;
    /* 不同哈希函数的种子,一般应取质数 */
    private static final int[] seeds = new int[]{ 5, 7, 11, 13, 31, 37, 61 };
    private BitSet bits = new BitSet(DEFAULT_SIZE);
    /* 哈希函数对象 */
    private SimpleHash[] func = new SimpleHash[seeds.length];
 
    public BloomFilter()
    {
        for (int i = 0; i < seeds.length; i++)
        {
            func[i] = new SimpleHash(DEFAULT_SIZE, seeds[i]);
        }
    }
 
    // 将字符串标记到bits中
    public void add(String value)
    {
        for (SimpleHash f : func)
        {
            bits.set(f.hash(value), true);
        }
    }
 
    // 判断字符串是否已经被bits标记
    public boolean contains(String value)
    {
        if (value == null)
        {
            return false;
        }
        boolean ret = true;
        for (SimpleHash f : func)
        {
            ret = ret && bits.get(f.hash(value));
        }
        return ret;
    }
 
    /* 哈希函数类 */
    public static class SimpleHash
    {
        private int cap;
        private int seed;
 
        public SimpleHash(int cap, int seed)
        {
            this.cap = cap;
            this.seed = seed;
        }
 
        // hash函数,采用简单的加权和hash
        public int hash(String value)
        {
            int result = 0;
            int len = value.length();
            for (int i = 0; i < len; i++)
            {
                result = seed * result + value.charAt(i);
            }
            return (cap - 1) & result;
        }
    }
}
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误报率 - False Positive Rate

误报率的产生

初始状态下,Bloom Filter是一个m位的位数组,且数组被0所填充。同时,我们需要定义k个不同的hash函数,每一个hash函数都随机的将每一个输入元素映射到位数组中的一个位上。那么对于一个确定的输入,我们会得到k个索引。

插入元素: 经过k个hash函数的映射,我们会得到k个索引,我们把位数组中这k个位置全部置1(不管其中的位之前是0还是1)

查询元素: 输入元素经过k个hash函数的映射会得到k个索引,如果位数组中这k个索引任意一处是0,那么就说明这个元素不在集合之中;如果元素处于集合之中,那么当插入元素的时候这k个位都是1。但如果这k个索引处的位都是1,被查询的元素就一定在集合之中吗? 答案是不一定,也就是说出现了False Positive的情况(但Bloom Filter不会出现False Negative的情况)

在上图中,当插入x、y、z这三个元素之后,再来查询w,会发现w不在集合之中,而如果w经过三个hash函数计算得出的结果所得索引处的位全是1,那么Bloom Filter就会告诉你,w在集合之中,实际上这里是误报,w并不在集合之中。

误报率的计算

Bloom Filter的误报率到底有多大? 下面在数学上进行一番推敲。假设HASH函数输出的索引值落在m位的数组上的每一位上都是等可能的。那么,对于一个给定的HASH函数,在进行某一个运算的时候,一个特定的位没有被设置为1的概率是

那么,对于所有的k个HASH函数,都没有把这个位设置为1的概率是

如果我们已经插入了n个元素,那么对于一个给定的位,这个位仍然是0的概率是

那么,如果插入n个元素之后,这个位是1的概率是

如果对一个特定的元素存在误报,那么这个元素的经过HASH函数所得到的k个索引全部都是1,概率也就是

根据常数e的定义,可以近似的表示为:

减少误报率: 最优的哈希函数个数

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中,那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢? 这里有两个互斥的理由: 如果哈希函数的个数多,那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大;但另一方面,如果哈希函数的个数少,那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数,我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用p和f进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e−kn/m)),我们令g = k ln(1 − e−kn/m),只要让g取到最小,f自然也取到最小。由于p = e-kn/m,我们可以将g写成

根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2,也就是k = ln2· (m/n)时,g取得最小值。在这种情况下,最小错误率f等于(1/2)k ≈ (0.6185)m/n。另外,注意到p是位数组中某一位仍是0的概率,所以p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说,要想保持错误率低,最好让位数组有一半还空着。

需要强调的一点是,p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。同样对于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn)),g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn),p’ = (1 − 1/m)kn,我们可以将g’写成

同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时,g’取得最小值。

减少误报率: 位数组的大小

在不超过一定错误率的情况下,Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合? 假设全集中共有u个元素,允许的最大错误率为є,下面我们来求位数组的位数m。

假设X为全集中任取n个元素的集合,F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x,在s = F(X)中查询x都能得到肯定的结果,即s能够接受x。显然,由于Bloom Filter引入了错误,s能够接受的不仅仅是X中的元素,它还能够є (u - n)个false positive。因此,对于一个确定的位数组来说,它能够接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中,s真正表示的只有其中n个,所以一个确定的位数组可以表示

个集合。m位的位数组共有2m个不同的组合,进而可以推出,m位的位数组可以表示

个集合。全集中n个元素的集合总共有

个,因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合,必须有

即:

上式中的近似前提是n和єu相比很小,这也是实际情况中常常发生的。根据上式,我们得出结论: 在错误率不大于є的情况下,m至少要等于n log2(1/є)才能表示任意n个元素的集合。

上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小,这时f = (1/2)k = (1/2)mln2 / n。现在令f≤є,可以推出

这个结果比前面我们算得的下界n log2(1/є)大了log2 e ≈ 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时,要让错误率不超过є,m至少需要取到最小值的1.44倍。

拓展: Counting Bloom Filter

从前面对Bloom Filter的介绍可以看出,标准的Bloom Filter是一种很简单的数据结构,它只支持插入和查找两种操作。在所要表达的集合是静态集合的时候,标准Bloom Filter可以很好地工作,但是如果要表达的集合经常变动,标准Bloom Filter的弊端就显现出来了,因为它不支持删除操作。

Counting Bloom Filter的出现解决了这个问题,它将标准Bloom Filter位数组的每一位扩展为一个小的计数器(Counter),在插入元素时给对应的k(k为哈希函数个数)个Counter的值分别加1,删除元素时给对应的k个Counter的值分别减1。Counting Bloom Filter通过多占用几倍的存储空间的代价,给Bloom Filter增加了删除操作。下一个问题自然就是,到底要多占用几倍呢?

我们先计算第i个Counter被增加j次的概率,其中n为集合元素个数,k为哈希函数个数,m为Counter个数(对应着原来位数组的大小):

上面等式右端的表达式中,前一部分表示从nk次哈希中选择j次,中间部分表示j次哈希都选中了第i个Counter,后一部分表示其它nk – j次哈希都没有选中第i个Counter。因此,第i个Counter的值大于j的概率可以限定为:

上式第二步缩放中应用了估计阶乘的斯特林公式:

在Bloom Filter概念和原理一文中,我们提到过k的最优值为(ln2)m/n,现在我们限制k ≤ (ln2)m/n,就可以得到如下结论:

如果每个Counter分配4位,那么当Counter的值达到16时就会溢出。这个概率为:

这个值足够小,因此对于大多数应用程序来说,4位就足够了。

拓展: 其它

Data synchronization

Byers等人提出了使用布隆过滤器近似数据同步。

Bloomier filters

Chazelle 等人提出了一个通用的布隆过滤器,该布隆过滤器可以将某一值与每个已经插入的元素关联起来,并实现了一个关联数组Map。与普通的布隆过滤器一样,Chazelle实现的布隆过滤器也可以达到较低的空间消耗,但同时也会产生false positive,不过,在Bloomier filter中,某 key 如果不在 map 中,falsepositive在会返回时会被定义出的。该Map 结构不会返回与 key 相关的在 map 中的错误的值。

Compact approximators

Stable Bloom filters

Scalable Bloom filters

Attenuated Bloom filters

相关题目

给你A,B两个文件,各存放50亿条URL,每条URL占用64字节,内存限制是4G,让你找出A,B文件共同的URL。如果是三个乃至n个文件呢?

根据这个问题我们来计算下内存的占用,4G=2^32大概是40亿*8大概是340亿,n=50亿,如果按出错率0.01算需要的大概是650亿个bit。现在可用的是340亿,相差并不多,这样可能会使出错率上升些。另外如果这些urlip是一一对应的,就可以转换成ip,则大大简单了。

给定a、b两个文件,各存放50亿个url,每个url各占64字节,内存限制是4G,让你找出a、b文件共同的url?

如果允许有一定的错误率,可以使用Bloom filter,4G内存大概可以表示340亿bit。将其中一个文件中的url使用Bloom filter映射为这340亿bit,然后挨个读取另外一个文件的url,检查是否与Bloom filter,如果是,那么该url应该是共同的url(注意会有一定的错误率)。”

在2.5亿个整数中找出不重复的整数,注,内存不足以容纳这2.5亿个整数。

方案1: 采用2-Bitmap(每个数分配2bit,00表示不存在,01表示出现一次,10表示多次,11无意义)进行,共需内存2^32 * 2 bit=1 GB内存,还可以接受。然后扫描这2.5亿个整数,查看Bitmap中相对应位,如果是00变01,01变10,10保持不变。所描完事后,查看bitmap,把对应位是01的整数输出即可。

方案2: 也可采用分治,划分小文件的方法。然后在小文件中找出不重复的整数,并排序。然后再进行归并,注意去除重复的元素。

给40亿个不重复的unsigned int的整数,没排过序的,然后再给一个数,如何快速判断这个数是否在那40亿个数当中?

用位图/Bitmap的方法,申请512M的内存,一个bit位代表一个unsigned int值。读入40亿个数,设置相应的bit位,读入要查询的数,查看相应bit位是否为1,为1表示存在,为0表示不存在。

参考文章

  • https://my.oschina.net/kiwivip/blog/133498
  • https://blog.csdn.net/h348592532/article/details/45364147
  • https://blog.csdn.net/h348592532/article/details/45362661
  • https://blog.csdn.net/qianshangding0708/article/details/48030057
  • https://blog.csdn.net/xf_87/article/details/51073678
  • https://blog.csdn.net/weixin_34082695/article/details/90331258
  • https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/7382693

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